算数の動画「場合の数（２）」を見ました。場合の数（２） は、（１）から難易度を増して帰ってきた感じです。この（２）シリーズは、他の単元でもですが、難しくなってきますね。特にこの場合の数は、大人でも取り付きにくいです、練習すれば何とかなりますよ、頑張って取り組みましょう！
さぁ、頑張っていきましょう！
概要
基本問題
最初はおさらいとして、基本問題の内容を簡単に教えてくれます。同じ組み合わせかなら割る、の考え方は、ここでおさえましょう。組み合わせを一つ一つ考えるときも、自分のルールをきちんと持って考えます。あと、前パターン決まるるなら、片方決まれば、もう片方が決まる、という考え方も用います。区別があるかないか、は理解しましょう。区別が無ければ、そのまま掛け算で出します。区別あれば、それぞれの場合がどういう通りあるか書いて、その通りが何パターンあるかを書きます。さいころの問題は組み合わせを書いて、考えます。円に点があって、どんな三角形のパターンがあるか、これも場合の数を用います。重要な補足説明があるので、ここで、場合の数の考え方を教えてもらえます
是非確認しましょう！動画では、前編１の21:04～からです。
以下は前編２になります。
数の書いてあるカードの考え方です。コツがありますね、枚数が多い場合は、残りの枚数で考えたほうが早いです。
前編２の18:36～から下記の説明があります。これは「不定方程式」の説明になります。是非見ておきましょう！動画でも下記のように字幕が出てきます。
「今回の重要テーマの導入問題なので、約10分の解説があります。正解できた人もきちんと見てください」
「まずは、ありがちな誤認について」でつるかめ算としてしまう間違いの説明があります。
次に「式で整理する」→「1組見つかれば、残りは簡単に見つけられる」と説明があります。残りを見つけていく際に、「交換していく」という考え方の説明があります。
「では、どう1組をみつけるか」「まずはラッキーを活用する方法で」「今後のために、別の方法で」と説明があります。後半の応用などで使う考え方ですので、動画で理解しておきたいです。
つるかめ算がいまいち自信が、、、という方には、下記をお勧めさせていただきますね、マンガなので取り付きやすいです♪
応用・発展
さいころに区別がある場合、が出てきます。全パターンを考えて、各パターンで何通りあるか、を考えるようにします。
図形のパターンが出てきますが、これも場合の数で解きます。とはいえ、全種類を調べて、面積のパターンを出してから解いていく形ですね。黒板の図がとても分かりやすいです。
硬貨を両替して枚数を求めます。つるかめ算も出てきますが、不定方程式として解く必要があり、難易度は高いです。
じゃんけん、3人であいこになるパターンは？普段の生活でもよくある話ですが、全員一緒と、全員違うパターンがあります。4人でするとさらに難しくなります・・・
A地点からB地点へ行くのに何通りか、を以前はかきこみ式で解いていたのを、今回は場合の数の考え方で解きます。これは、分かると便利ですね。
不特定算の考え方として、下１桁、下２桁とか、偶数奇数とかを見て考えます。発展は難しいですね。
◆基礎◆標準
アプローチ①左1⃣
えんぴつ3通り、ノート４通り、選べるので3×4=12となります。
アプローチ①左2⃣
3桁なので、百の位は3通り、十の位は3通り、一の位は2通りなので、3x3x2=18通り、となります。
アプローチ①左3⃣
6人から3人選びます。6x5x4となりますが、A,B,CとA,C,B、等は同じなので、3x2x1で割ります。
アプローチ①左4⃣
男子は4×3を2×1で割ります。女子は3人から2人選ぶということは選ばれない人が3通り、と同じになります。
アプローチ①右1⃣
全部で8個あるので、まず、みんなに1つずつ配って、残り5個を3人に分ける、と考えます。5,0,0が3通り、4,1,0が6通り、3,2,0が6通り、3,1,1が3通り、2,2,1が3通り、なので、すべて足し合わせて21通りとなります。
アプローチ①右2⃣
りんご15個とかき6個です、かきの個数が決まるとリンゴの個数も決まります。かき6個を分けて考えます。6,0,0と5,1,0と4,2,0と4,1,1と3,3,0と3,2,1と2,2,2でそれぞれ何通りかを出して足し合わせます。
アプローチ②1⃣
赤玉１個、白玉3個を並べます。赤玉がどこに来るかを考えます、4通りとなります。
アプローチ②2⃣
赤玉２個、白玉2個です、赤玉２こがどこに入るかを考えます。4×3を2×1で割って求まります。動画では本当にそうなのか、の図解説明があります。
アプローチ②3⃣
赤玉1個、白玉1個、青玉2個です。赤の入れ方が4通りです、次に白の入れ方は3通り、残りが青玉になるので、4×3となります。補足では、先に青から入れると、4×3を2×1で割り、次に赤は2通り、白は1通りとなります。球の数が小さい方から計算すると、計算が楽になります。
アプローチ②4⃣
赤玉2個、白玉3個です。赤を入れるのは5×4を2×1で割ると求まります。
アプローチ②5⃣
赤玉１個、白玉2個、青玉3個です。最初に赤を入れるのは6通り、次に白を入れるのは5×4を2×1で割り、残りが青になります。
アプローチ③左1⃣
サイコロを振ります。4回振って併せて9なので、結構小さめの数ですね、と考えます。小さい方から書くと、1,1,1,6と1,1,2,5と1,1,3,4です。次は1,2,2,4と1,2,3,3です、次は1,3,x,xはできません。次は2,2で始めると2,2,2,3のみとなります。今回は組み合わせを答えるので並び替えは考えずに、答えは6通り、となります。
アプローチ③左2⃣
4つで20なので結構大きめなので、大きい数から考えます。6,6,6,2と6,6,5,3と6,6,4,4となります。次は6,5,5,4となります。6,4,x,xはできません。次に5,5,5,5があり、これで終わりですので、5通り、となります。
アプローチ④左1⃣
円周を8通分する点から3つ選んで三角形を数えます。動画では5種類すべてを書いて説明してくれていますよ。重要な補足として、3つ足して8になる和分解の三角形と考え、（1,1,6）(1,2,5)（1,3,4）(2,2,4）（2,3,3）の三角形と考えることができます。
アプローチ④左2⃣
円周を12等分しています、これも12を和分解して求めることができます。1で始まるのは、1,1,10と1,2,9と1,3,8と1,4,7と1,5,6です。次に2で始まるのは2,2,8と2,3,7と2,4,6と2,45,5です。3で始まるのは、3,3,6と3,4,5です。4で始まるのは4,4,4です。全部足すと12種類、とわかります。
前編２へ
アプローチ⑤1⃣
（１）9枚のカードから3枚で14にします。小さい方から考えると、1,4,9と1,5,8と1,6,7です。2,3,9と2,4,8と2,5,7です。3,4,7と3,5,6です。これらの8通りとなります。（２）6枚で36を考えるのは大変なので、選ばれない3枚で９、を探します。1,2,6と1,3,5、2,3,4の3通りとなります。
アプローチ⑥1⃣
※今回の重要テーマの導入問題なので、約10分の解説があります。正解できた人もきちんとみてください。
まず、ありがちな誤認として、つるかめ算してしまう場合がありますが、これはつるかめ算ではありません。式で整理します。30x□＋50x△=520とします。一組見つかれば残りは簡単に見つけられます。□と△が4と8を見つけたとします。この一組見つけたところから、大事なコツとして、交換していくことを考えます。今回は□5個と△3個で取り換えれるので、□を5個増やす代わりに、△を3個減らすと、2組目は9と5、3組目は14と2とわかります。
では1組目をどう見つけるかです。まず全部を10でわって、3x□＋5x△=52とします。次に数字の大きい方から考えます、今回は５を考えると、△の最大は10となり、あと2となります。次に△を9とするとあと7、△を８とするとあと12となり、これは□が４，とわかります。
アプローチ⑥2⃣
20x□＋35×△=490、です。大きい方から考えると△が14とすると、□が0となります。これはダメなので、交換していきます。20と35の最小公倍数が140なので、□を7つ増やすと、△が4つ減らす、という交換をします。ので、□と△は、７と10、14と6、21と２、となります。補足として、最初の式を5で割って、4x□＋7×△=98で考えても分かりやすくなります。
アプローチ⑦1⃣
45x□＋105x△=2850です。簡単にすると、3x□+7x△=190となります。□と△が、19と19から考えます。□を7足していって、三角を3引く、を続けて、何通りあるか、を求めます。19から3ずつ減らすと16,13,10,7,4,1となり、19から７ずつへらすと12,5となり、併せて9通り、と求まります。補足では、最初の19と19が見つけられなかった場合、の考え方の説明があります。
◆応用
アプローチ③右1⃣
区別のあるサイコロ4つを振ります。1,1,1,5と1,1,2,4と1,1,3,3で、次は1,2,2,3で、次は2,2,2,2です。区別があるので、並び替えを考えます。アプローチ②と同じ様に考えると1,1,1,5は4通りです。1,1,2,4は4×3の12通りです。1,1,3,3は6通り、次の1,2,2,3は12通り、次の2,2,2,2は1通り、と出せます。これを全部足して35通りとなります。
アプローチ④右1⃣
全種類を調べます、動画では、全種類を黒板で記載して説明があります。とても丁寧に分かりやすく説明があるので、こちらの参照をお勧めします。考え方が分かりますよ。
アプローチ⑧1⃣
140xア＋63xイ=7042です。1の位が2になるにはイの一の位が4と分かります。簡単な式にすると、20xア＋9xイ=1006、となります。イが4はダメです、14とするとアが44と分かります。このアとイを-9個と+20個で交換して求めていきます。44と14、35と34、26と54、17と74、8と94と求まりますが、合計が100個以下に気をつけましょう。補足では、初めの１組が44と14と分かるので合計が58個です、ここから＋11していくので、58、69、80、91までとわかります。
アプローチ⑨1⃣
（１）つるかめ算で求まります。（２）100円を両替すると9枚増えます、50円を両替すると4枚増えます。合わせて360枚増えたので、9x□＋4×△=360、となります。□は偶数になり最大は40とわかります、これから順番に、38で考えると△は5となります。何通りか、を求めるので、38から4ずつ減らして最後は2になるのdえ、全部で10通りあることが分かります。
アプローチ⑩左1⃣
同じ種類を選ぶのは4通り、違う種類を選ぶのは4×3を2×1で割ります、これらを合わせて求まります。
アプローチ⑩右1⃣
じゃんけんで3人があいこになるのを求めます。3人とも同じであいこになるのは3通りです。バラバラであいこになるのは、グーチョキパーなので3x2x1の6通りで合わせて9通りとなります。
◆発展
アプローチ②6⃣
道順の問題です。図１では↑に6個、→に4個進むと考えます。↑6個と→4個の並び替えです。10回の移動のうち、4個選ぶと考えます。10x9x8x7を4x3x2x1でわって210通り、とわかります。図２は立体になります。まずは書き込み方式で考えると60通りと求まります。矢印で考えると、↑に2つ、↗に1つ、→に3つと考えます。全部で6回移動します。↗から考えて6通り、これに↑は5×4を2×1で割ったのを掛けて、60通りとわかります。
アプローチ⑧2⃣
100xア＋65×イ=5280です。イは偶数と分かります。イを12個とするとアが45で見つかります。これは合計が57なのでダメですが、1個目として見つかります。アは-13、イは+20となっていきます。順位進めると32と32、19と52、6と72、と求まります。補足では合計の165で割って32と32をもとめてからでもOkです。
アプローチ⑩左2⃣
4種類のボールペンが3本ずつから、3本選びます。同じ種類を選ぶと4通りです。違う種類を求めるのは、3種類ともバラバラなのは、4通りです。2種類バラバラなのは4x3x2で12通りとなります。全部合わせて20通りとなります。
アプローチ⑩右2⃣
4人がじゃんけんして引き分けになる時です。全員同じなのは3通りです。バラバラのパターンを考えます。〇〇△□とすると、ググチパ、チチパグ、パパグチでそれぞれ12通りなので、全部合わせて39通りとなります。別解では、じゃんけんすると勝負がつくか、あいこか、しかありません。全部は3x3x3x3=81通りです。勝負がつくのは〇×××となるのは誰が、と何で、で、4×3=12通りとなります。〇〇××は4×3を2×1で割ったのに3を掛けて18通り、〇〇〇×は4×3で12通り、つまり、ショウブが付くのは42通りとなり、あいこは残りの39通り、と求めることもできます。
まとめ
確率などにも関係する場合の数の学習は、大人でも難しいですね。各パターンが何通りか出して、それを足すのか、掛けるのか、で最後の最後で間違える悲しさがありますが、理解していないからなんでしょうね。。。。生活でも使えると得するような単元ではあるんですよね・・・
息子くんには、
理解していた方が、生活でも得することあるよ
と伝えてみましたが、「じゃんけんも勝てるようにるかな？」、と言っていました。カイジのカードじゃんけんを意識しているようです・・・
最後まで読んで頂きありがとうございました。
下記に他の動画解説のページもありますので、紹介させてください。
参考になるとうれしいです。
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