算数の動画「ニュートン算」を見ました。
ニュートン算です、なかなか聞きなれないですね。中学受験算数の特別な単元？なんですかね？
でも、有名なアイザック・ニュートンが考えたらしいです。簡単に言えば、初めから存在する量に対して、一定のペースの増減した時の量を考える問題ですね。大人の世界では普通に使うような考え方ですが、中学受験では小学生でも解けるようにするんですねー
なかなか難しいですが、頑張っていきましょう。
全体概要
基本問題
・はじめは、ポンプの水の問題からです。
最初に水が何リットル入っていて、出ていくのが1分あたり何リットル、入ってくるのが分あたり何リットル、合わせて1分あたり何リットル減る、だから、何分で空になる、、という解法です。
基本はこの解き方ですね。
・行列の問題です
始めに並んでる人数、1分で列に増える人数、1分でゲートに入って列から減っていく人数、があってこれらを用いて解いていきます。ゲートの数を増やすことで、少し難易度上がっていきます。
・ポンプの問題
1分あたりで1つのポンプで減る量がわからないですが、情報整理して、引き算すると分かるようになります。複数台にポンプが増えるので、差分をとって、1台当たりの水の減る量を算出します。
・具体的な数字が無い場合は、ポンプの場合、1台1分1リットルの水を出す、として進めていきます。
問題文にある2つのケースを比べて、引き算すると、もともとある水の量が相殺されます
・牧場の問題では、1頭1日1kg食べる、とおいてみて進めます。
毎日草が生えるし、元から生えてる草もあるし、頭数変えると減る量も変わるけど、、、、解き方は今までの基本と同じですね。
応用・発展
・窓口1つで1分で①の対応ができるとして、進めていきます
基本の通り解き進めれば、①がxx人、と分かるので、そこから解いていくのは基本通りです。
この問題は解き方が3つあって、それぞれの解法ができるということは、本当にわかっているってことですね・・・うちは諦めました、、、、
・仮に、1頭1日1kg食べる、として考えます。
はじめに生えている草の量、一日で生える草の量、が出せれば答えにたどり着けます。
・バスと車でのニュートン算が出てきます。
線分図を書いて、状況理解して、どのの時間が何キロか、などを把握する能力が必要です。
・受付が1か所で5分で①できる、と仮定します。
この①を、求める方法は、今まで通りなのですが。
5分で①、とすることで、5分まとまりで考える必要があり、難易度が増します。
◆基礎◆標準
アプローチ①1⃣
全体で毎分50ℓ減るので、600ℓ減らすには600÷50、となります。
アプローチ①2⃣
全体で毎分60ℓ水が減ります、12分で空になるので、初めに入っていた水の量は60×12、となります。
アプローチ①3⃣
全体で毎分96ℓ水が減ります、25分で空になるので、25×96、で求まります。ちなみに96×25＝24x4x25＝24×100、と計算しましょう。
アプローチ①4⃣
450ℓ入っていて、10分で空になることから、毎分45ℓ減る、と分かります。出るのが毎分45ℓなので、入ってくるのは50-45、で求まります。
アプローチ①5⃣
初めに760ℓ入っていて、8分で空になるので、毎分95ℓ減る、とわかります。毎分125ℓ減るので、125-95、で求まります。別解では、もともと入っていた760ℓ＋入った水=出た水125×8、から、入った水が240ℓとわかり、これを8分で居れるので、240÷8、でも求まります。
アプローチ①6⃣
800ℓが20分で空になるので、毎分40ℓ減ります。入れている水より出す水の方が多いです、25+40、で求まります。
アプローチ①7⃣
270ℓが60分で空になるので、毎分4.5ℓ水が減ります。入れている水より出す水の方が多いので、0.5＋4.5、で求まります。もともと270ℓ＋入った水0.5×60=出た水、となり、出た水は300ℓなので、300÷60、でも求まります。
アプローチ②1⃣
（１）行列は2800人います、入場する＝行列から出ていく、です、新たに並ぶ＝行列に入っていく、です。2800÷70＝40人でこれが1分あたり減る人数です。20人が新たに並ぶので、入場する人は40+20、でゲート1つ分が求まります。（２）ゲートが2つになると、入場する人が倍になります。つまり、2800÷（60×2-20）で求まります。（３）ゲートを5つにすると、2800÷（60×5-20）、で求まります。式にすると分かりやすいですね。
アプローチ②2⃣
ゲート1つの時は、2400÷80=30人が毎分減っている、とわかりますので、1つのゲートからは30+15=45人入場する、とわかります。ゲートが７つにすると、2400÷（45×7-15）、で求まります。
アプローチ②3⃣
ゲート1つの時は、4500÷50=90人が毎分減っている、とわかりますので、1つのゲートからは90+30=120人入場する、とわかります。10分で減らしたい、つまり、4500÷10＝450人を減らしたいのですが、30人入ってくるので、450＋30=480人入場させたいので、480÷90、で求まります。別解では、450人減らすためには、ゲート1つとの差450-90=360人減らす量を増やせばよい、と考え、1つのゲートで120人減るので、360÷120=3つのゲートを増やせばよい、つまり、4つにすればよい、と考えることもできます。
アプローチ②4⃣
ゲート1つでは6000÷120＝50人/分が減っているので、出るのは90人/分と分かります。15分で行列をなくすためには6000÷15=400人/分以上減らす必要があります。つまりゲートだけで(400+40)人減らさないといけないので、440÷90=4・・・80ですが、4つだと足りないので、答えは5つ、となります。
アプローチ③1⃣
（１）ポンプ1台では、500÷10＝50ℓ/分です。（２）ポンプ2台では500÷4=125ℓ/分です。（３）つまり、差からポンプ1つで75ℓ/分減らしている、とわかります。（４）ポンプ1台で考えると、75-50=25ℓ/分入ってきている、と分かります。（５）ポンプ3台の場合は、500÷（75×3-25）で、求まります。
アプローチ③2⃣
ポンプ1台だと2400÷80=30ℓ/分減る、ポンプ3台だと、2400÷24=100ℓ/分、つまり、差の2台で70ℓ/分、とわかるので、1台当たり35ℓ/分出ていきます。入ってくる水は5ℓ/分とわかり、2400÷（35×7-5）、で求まります。
アプローチ③3⃣
ポンプ2台だと1800÷20=90ℓ/分減る、ポンプ5台だと、1800÷6=300ℓ/分、つまり、差の3台で210ℓ/分、とわかるので、1台当たり70ℓ/分出ていきます。入ってくる水は50ℓ/分とわかり、1800÷（70×15-50）、で求まります。
前編２へ
アプローチ④1⃣
（１）①1台1分1ℓでくみ出すので、40×84=3360ℓ②36×100=3600ℓ、となります。③もともとあった水+入っってきた水84分=3360ℓ、もともとあった水+入ってきた水100分=3600ℓ、なので、差の16分が240ℓ、とわかり、毎分15ℓ/分入ってきた、とわかります。④これより、もともとあった水の量が分かります。（２）いままでの答えを使って、2100÷（75-15）、で求まります。
アプローチ④2⃣
（１）1台1分1ℓ、と決めてしまいます。5台300分なので1500ℓ出します。7台200分は1400ℓだします。ので、元の水＋入ってきた水300分=1500、元の水+入ってきた水200分=1400、です。これから、差の100分が100ℓなので、入ってくるのが1ℓ/分です。これより、元あった水の量は1200ℓとわかり、1200÷1、で求まります。（２）1200÷（13-1）で求まります。
アプローチ⑤1⃣
馬が1頭1日1kg食べる、と置いて考えます。65頭60日は65×60=3900kg、85頭40日は85×30=3400kgです。もともとあった草+生えてきた60日=3900、と、もともとあった草+生えてきた40日=3400、なので、差から生えてきた20日が500kg、とわかるので、生えてくる草は25kg/日とわかり、もともとあった草は2400kgと分かります。2400÷（100-25）で求まりますえ。
アプローチ⑤2⃣
1頭1日1kg食べる、と置いて考えます。85頭50日は85×50=4200kg、102頭40日は102×40=4080kgです。もともとあった草+生えてきた50日=4200、と、もともとあった草+生えてきた40日=4080、なので、差から生えてきた10日が120kg、とわかるので、生えてくる草は12kg/日とわかり、もともとあった草は3600kgと分かります。3600÷75=48kg/日減るので、60kg/日食べるとわかります。
アプローチ⑦1⃣
（１）5台だと180ｔが2時間で減るので、90ｔ/時減ります。2台の場合は30ｔ/時減る、とわかります。差の3台で出ていくのが60ｔ/時と分かり、1台当たり20t/時で出しているとわかります。（２）40-30で入ってくる量が求まります。（３）200÷（20×3-10）で求まります。
◆応用
アプローチ⑥1⃣
解き方１では、窓口1つ1分を比1、とします。窓口1つでは、１x90=出90=元+8×90です。2つでは2×36=元+8×36、なので差の比18が432人と分かります。比１あたり24人とわかり、元々1440人と出せます。これより14408=180分なので、3時間前の午前6時、と出せます。
解き方２では、「毎分8人」を使わずに解きます。差の比18が入54分、して考えます。
解き方３では、行列の問題と同じ様に解きます、はじめの行列の人数を自分で決めて解きます。
どれも動画では丁寧に説明があります、難易度は高めですが、算数好きな人は是非動画を見て確認してみましょう。
アプローチ⑧1⃣
1頭1日1lgたべる、とおきます。50頭96日なので4800kg食べた、70頭66日なので4620kg食べた、とわかります。差より、30日で180kg生えた、とわかり、一日あたり6kg生えています。これより、もともとは（70-6）x66=4244kg、とわかります。81頭で40日食べるので、残りは4224-（81-6）x40=1224kgです。これを57頭で食べるには1224÷（57-6）=24日かかります。ので、併せて64日かかる、と出せます。
アプローチ⑧2⃣
1頭1日1lgたべる、とおきます。160頭30日なので4800kg食べた、180頭25日なので4500kg食べた、とわかります。差より、5日で300kg生えた、とわかり、一日あたり60kg生えています。これより、もともとは（160-60）x30=3000kg、とわかります。200頭で15日食べるので、残りは3000-（200-60）x15=900kgです。これを15日で食べるには900÷15=60kg/日減らせばよいので、120頭、とわかります。
アプローチ⑨1⃣
1頭1日1lgたべる、とおきます。120頭60日なので7200kg食べた、150頭20日と100頭50日なので3000kg＋5000kg=8000kg食べた、とわかります。差より、10日で800kg生えた、とわかり、一日あたり80kg生えています。これより、もともとは（120-80）x60=2400kg、とわかります。2400kg÷（200-80）で求まります。
アプローチ⑩1⃣
バスと車が走っている問題です。動画では図に書いて分かりやすく説明があります。（１）車が5時間で走る距離が200km、と3時間で走る距離138kmの差の62kmをバスは2時間で走るので、バスの速さが31km/時、とわかります。（２）初めの差が5時間で考えると、200-5×31で求まります。（３）45km÷（51-31）で求まります、分数で出して答えは時間と分に直しましょう。
◆発展
アプローチ⑪1⃣
（１）受付1か所5分に出１，と、1日目の初めを元、とします。1日目3か所55分なので、３x11=出33なので、元+50人x11-20人=出33です。2日目は5か所25分なので、5×5=出25なので、元+40人+50×5=出25です。差を出すと、240人が出8となります。これより、答えは30人、となります。（２）2日目は、もともと並んでいた人＋40人なので、500人、とわかります。
アプローチ⑪2⃣
（１）受付1か所3分に出１，と、1日目の初めを元、とします。1日目7か所24分なので、7×8=出56なので、元+60人x8-10人=出56です。2日目は4か所45分なので、4×15=出60なので、元-350人+60×15=出60です。これを計算すると、出1が20人、と出せます。（２）これも前の問題と同じ様に計算して300人、と出せます。
まとめ
初めて聞くような名称の為、少し戸惑いました。でも、考え方はどれも同じようなので、基礎が重要と思います。ちなみに、名前の由来は、やっぱり、アイザック・ニュートンが考えたから、が通説のようです。息子君に聞いてみました。息子君曰く、「リンゴの人！」🍎
備考ですが、、、ニュートン算とは、下記説明が載っていました。大きくは仕事算、のカテゴリーに含まれているようです。
最後まで読んで頂きありがとうございました。
下記に他の動画解説のページもありますので、紹介させてください。
参考になるとうれしいです。
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